1학년 수학 세특 예상문제

[1-1]

Q1. 임의의 두 자연수가 서로수인 경우와 좌표 평면의 각 점의 좌표가 정수인 모든 지점에 나무가 있고 원점에 내가 서있을 때 보이는 나무의 개수를 구하는 문제가 동치라는 것을 이해하고 이를 바탕으로 보이는 나무의 개수, 좌표, 비율을 컴퓨터 프로그래밍을 활용해 값을 산출하고 그 결과를 친구들과 공유하였다고 했는데 어떻게 하였는지?

A1: 선생님께서 좌표평면에 대해 말씀하시면서 수학자는 스스로 문제를 만들어 풀 수 있어야 한다고 하시며 위 문제를 주었습니다. 사실 처음 문제를 바라볼 때에는 어떻게 해결할지 고민이 많았는데 좌표평면에 대해 공부하면서 우연히 위의 문제가 동치라는 것을 이해하게 되었습니다. 그래서 이 문제를 해결하기 위해 당시 배우고 있던 C언어를 활용하여 해결해보고자 했습니다. C언어를 선택한 이유는 문제가 단순히 계산하여 해결할 수 있다고 생각하지 않았고 당시에는 극한에 대해 배우지 않았기 때문에 무한대로 증가하는 좌표평면에 대해서 증명할 방법이 없다고 생각했습니다. 따라서 C언어의 coprime 함수과 재귀함수를 활용하여 범위를 주면 범위내의 서로소를 찾는 프로그램을 제작할 수 있었습니다. 

이를 선생님과 친구들에게 공유하며 보다 더 다양한 의견을 물었고 이후 선생님에게 유클리드 호제법을 배우면서 유클리드 호제법을 활용하여 프로그램을 제작했고 기존의 프로그램보다 컴파일 시간을 줄이는 더 효율적인 프로그램을 만들 수 있었습니다. 

 

Q1-1. 처음으로 만들었던 프로그램이 coprime과 재귀함수를 통해 만들었다고 했는데 정확히 어떤 식으로 만들었는지 설명해주세요.

A1-1. 2부터 범위로 주어진 수까지 나머지 연산%을 통해 연산값이 0이면 그 두 값을 카운트하도록 하였습니다.

 

Q1-2. 유클리드 호제법이 무엇인지 설명해주세요.

A1-2. 유클리드 호제법이란 두 수의 최대공약수를 구하기 위한 방법으로 프로그래밍에서는 MOD 연산만을 반복하는 과정으로 몫을 계속해서 산출해나가 끝에 나머지가 0이 될 때의 나눈 값이 두 수의 최대공약수임을 확인하는 방법입니다. A mod B = C 일 때 C가 0이 아니라면 B mod C = D ... 이런 식으로 풀어나가는 방법을 의미합니다. 이 프로그램에서는 공약수가 1인 경우만을 카운트하도록 코드를 짜는데에 활용했습니다.

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Q2. 카탈란 수에 대해 정의와 실생활에 적용되는 다양한 사례가 있다는 데 카탈란 수의 정의와 사례 3가지를 얘기해주세요.

A2. 우선 카탈란 수란 카탈란이라는 수학자가 발견한 조합론에서 주로 활용되는 수로

C(n) = (2n)! / {(n+1)! * n!}으로 표현할 수 있습니다.

실생활에서는 산업 공정시 생산 공정의 순서를 계획하고 최적화하는 데 사용될 수 있습니다. 프로그래밍 중에서 괄호검사를 할 수도 있으며 경로를 찾을 때에도 활용할 수 있습니다.

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Q3.  파스칼 삼각형에서 피보나치 수열은 어디서 발견할 수 있나요? 또한, 피보나치 수열은 무엇인가요?

A3. 우선 피보나치 수열에 대해 말씀드리면  첫째 항과 둘째 항이 1이고 그 뒤의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합으로 이루어진 수열을 의미합니다. 이때 점화식으로 표현하면 a_n = a_n-1 + a_n-2로 나타낼 수 있습니다. 이는 파스칼 삼각형에서 각 줄에 대해 계단 식으로 나타내고 대각선 방향으로 더한 수열이 피보나치 수열임을 찾을 수 있습니다.

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Q4. 인수정리가 무엇인지 설명하고 인수정리를 통하여 인수분해한 사례를 말해주세요.

A4.

인수정리란 다항식 f(x)가 f(r)=0인 경우에만 인수 (x-r)를 갖음을 설명하는 정리로 나머지 정리와 유사합니다. 실제로 조립제법등의 방법으로 인수분해할 수 있습니다. 이때 r값은 보통 +-[상수항의 약수/최고차항의 계수의 약수]로 찾을 수 있습니다.

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[1-2]

Q1. Cesaro-Stolz정리와 로피탈 정리에 대해 설명해보세요.

A1. 우선 Cesaro-Stolz정리의 경우 분수의 형태로 나타나는 극한을 계산할 때 주로 활용하는 정리입니다. 

1. 수열 {a_n}과 {b_n}을 고려하고, n이 무한대로 갈 때, a_n ≠ b_n ≠ 0이라 가정합니다.

2. 수열 {a_n}과 {b_n}의 극한이 모두 ∞ 혹은 -∞로 발산할 때 아래와 같은 부등식이 성립한다고 가정합니다.

a_1/b_1 ≤ a_2/b_2 ≤ a_3/b_3 ≤ ... ≤ a_n/b_n

3. lim(n -> ∞) (a_n - a_(n-1)) / (b_n - b_(n-1)) = L을 만족할 때 4번이 성립합니다.

4. lim(n -> ∞) a_n / b_n = L

다음으로 로피탈 정리의 경우 

1. 함수 f(x)와 g(x)가 주어지고, x가 어떤 실수 a에 수렴할 때, f(a) = g(a) = 0 또는 f(a) = g(a) = ±∞라고 가정합니다.

2. 만약 f(x)와 g(x)가 a의 근방에서 미분 가능하다면, 다음 조건을 가정합니다:

lim(x -> a) f'(x) / g'(x)이 존재하고 (L은 실수 또는 ∞ 또는 -∞), g'(x) ≠ 0 (a의 근방에서 g(x)는 0이 아닌 값을 가짐).

3. 이때 아래의 식을 만족합니다.

lim(x -> a) f(x) / g(x) = lim(x -> a) f'(x) / g'(x) = L  

Q2. 힐베르트의 호텔, 러셀의 역설과 관련하여 어떤 연구를 읽었는지, 그리고 힐베르트의 호텔과 러셀의 역설은 무엇인지 설명해보세요.

A2. 힐베르트의 호텔의 경우는 자연수의 수열에서의 무한을 의미합니다. 자연수의 집합을 제외한 실수 범위까지 포함하게 되면 위와 같은 일반적인 사고로는 해결할 수 없게 됩니다.

옆의 영상 참고https://www.youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo&t=359s

또한 러셀의 역설의 경우는 다음과 같습니다.

집합 A를 다음과 같이 정의하면 A = { X ∣ X ∉ X }

이때 A ∉ A 라면, 조건을 만족하므로 A ∈ A가 된다.
반대로 A ∈ A 라면, 조건을 만족하지 않으므로 A ∉ A가 된다.
A∈A  ⟺  A∉A 따라서 집합 A의 존재는 모순이다.https://www.youtube.com/watch?v=9kHlYli2s5w

이는 원소가 성질만 주어지면 그러한 성질을 가지는 원소들로 집합을 구성할 수 있다는 칸토어의 집합론에 모순을 보인 역설입니다.

 

Q3. 이해한 무한의 개념과 집합의 정의가 왜 중요했는지 설명해보세요.

러셀의 역설을 해결하기 위해 공리계라는 개념을 도입하게 됩니다. 공리계란 공리들로서 모순이 발생하지 않도록 제한을 두는 것으로 정확히 다시 설명해보면 임의의 집합 A에 대하여 A의 원소 중 어떤 특정한 성질을 만족하는 원소들을 추려내 구성한 집합 B가 존재한다는 것입니다. 단순한 예로 들면 M = {a, M}이면 원소 내의 M 역시도 {a, M}이 되므로 M = {a, {a, M}}이고 그 안의 M은 또 {a, M}이므로... 식으로 무한정으로 연결되는 이상한 집합이 생기게 됩니다. 즉 성질만 주어지면 원소들로 집합을 구성할 수 있다는 칸토어의 집합론에 대한 정의를 이미 집합으로서 존재하는 원소들중에서만 원하는 성질에 대한 원소들로 새로운 집합을 구성할 수 있다는 것으로 바꾼 것입니다. 그런 의미에서 집합론에서 뿐만아니라 당연히 받아들이는 것에서도 보다 더 확실한 정의에 대한 검토가 이루어져야 함을 느낄 수 있었습니다.