[심화수학II]
Q1. 미분방정식에 대해 설명해보세요.
A1. 미분방정식은 미분된 도함수가 포함되어 있는 방정식을 의미합니다. 종류로는 상미분방정식과 편미분방정식이 있습니다. 상미분방정식은 독립변수가 하나인 미분방정식을 의미하며 편미분방정식은 독립변수가 둘 이상인 미분방정식을 의미합니다. 이때 편미분이란 둘 이상의 변수 x, y, z...에 대하여 함수 f(x, y, z...)가 있을 때 x만이 변하고 y, z는 변하지 않는다 할때의 x를 미분하는 것을 의미합니다.
Q1-1. 미분방정식의 활용도에 대해 말씀해주세요. 그리고 미분방정식을 조사하며 알게된 수학적 모델링이 무엇인지, 본인이 직접한 수학적 모델링 활동이 있는지를 말씀해주세요.
A1-1. 미분방정식은 수학만이 아닌 과학에서도 심지어는 경제에서도 활용될 수 있습니다. 실제로 미분방정식의 활용도를 조사해보았을 때 물리에서의 전하나 도선의 전기장, 퍼텐셜 차를 구할 때나 지구과학에서의 행성의 자전주기 등을 계산할 때에 활용될 수 있었습니다. 더불어 경제의 경우 변인들을 각각의 독립변수로 생각하여 각 변인들에 따라 미분방정식을 세워 향후를 추측하는데에 활용될 수 있음을 볼 수 있었습니다. 이에 관심을 가지고 더 조사해보니 현상을 이해하거나 예측하기 위해 변인을 수학적 언어로 표현하고 수학적인 방법으로 해결하는 과정인 '수학적 모델링'에 대해 알게 되었습니다. 실제로 정보과학 시간에 했던 CCTV와 범죄율의 상관관계를 공공데이터를 활용하여 분석해보는 과정에서 한 발 더 나아가 아까 조사했던 경제와도 연관지어 경제와 범죄율의 상관관계를 수학적 모델링하여 확인해보는 활동을 하였습니다.
Q2. 이차곡선의 종류의 정의와 그 실생활에 적용된 사례들 설명해주세요.
A2. 이차곡선은 흔히 원뿔곡선이라고도 불리며 원뿔을 평면으로 잘랐을 때의 생기는 곡선들입니다. 그 종류로는 원, 포물선, 타원, 쌍곡선이 있습니다. 먼저 원은 한 정점으로부터 동일한 거리에 있는 점들의 집합입니다. 원의 경우 바퀴나 물병등에 많이 사용되고 있습니다. 포물선은 한 초점과 정직선 사이의 거리가 동일한 점들의 집합입니다. 포물선의 경우 안테나, 다리 등에 활용됩니다. 타원은 두 정점 사이의 거리의 합이 동일한 점들의 집합입니다. 한 초점을 지나는 직선은 타원 내부에 반사되어 다른 초점을 반드시 지나는 점을 활용하여 의료기기에 사용되고 있습니다. 마지막으로 쌍곡선 두 정점 사이의 거리의 차가 동일한 점들의 집합입니다. 실생활에 적용된 사례로는 쌍곡선의 형태를 띤 원자력 발전소의 형태로 에너지의 배출을 효율적으로 한다는 것을 알 수 있었습니다.
Q2-1. 이차곡선의 판별식을 말하고 증명해보세요.
A2-1.
[기하]
Q1. 사면체에서 꼭짓점과 마주보는 면의 넓이와 같은 크기를 가지고 각 면에 수직인 방향의 벡터들이 합은 영벡터라는 것을 증명하고, 수학적 귀납법을 이용하여 n차 볼록다면체에서도 성립함을 증명해보세요.
Q2. 벡터를 어떻게 행렬 표현할 수 있나요? 그리고 word2vec란 무엇인가요?
A2. 행 벡터는 1 x N 행렬로 표현할 수 있고 열 벡터는 N x 1행렬로 표현할 수 있습니다. 이때 N은 벡터의 차원입니다. 또한 word2vec란 단어 벡터 간 유의미한 유사도를 수치화하는 방법입니다. 예를 들어 한국 - 서울 + 도쿄 = 일본처럼 단어가 가지고 있는 의미들을 가지고 연산을 하는 것입니다.
Q3. 최적화의 일종인 그리드 서치, 기울기 필요조건, 최대경사법에 대해 설명하고 다른 방법은 없는지 말해보세요.
A3. 그리드 서치는 변수의 값을 일정한 간격으로 줄이거나 늘리면서 최적의 값을 찾는 방법입니다. 가장 간단한 방법이지만 다만 이는 정확한 최적점을 찾을 수 없다는 것과 계산이 불필요하게 많을 수 있다는 단점이 있습니다.기울기 필요조건이란 미분된 값이 0인 경우를 찾는 것입니다. 물론 기울기가 0이어도 최소점이 아닐 수도 있고 최대점일 수도 있기에 확실한 최적점을 찾기에도 어려울 수 있습니다. 최대경사법이란 x_k에서의 도함수의 값이 양수면 x_k+1이 음의 방향으로 반대로 음수면 양의 방향으로 이동하여 도함수의 값이 0이 될 때까지 이동하는 방법을 의미합니다.
다른 방법으로는 몬테카를로 방법이 있는데요. 무작위적인 추출을 통하여 함수의 값을 수리적으로 근사하는 방법입니다.
[확률과 통계]
Q1. 독립사건과 배반사건에 설명하고 각 사건들의 차이점을 말씀해주세요.
A1. 독립사건이란 두 사건이 서로 독립적으로, 즉 하나의 사건이 발생하던지, 발생하지 않던지 관계 없이, 다른 하나의 사건이 발생하는 것에 영향을 주지 않도록 작용하는 사건을 의미합니다. 배반사건이란 서로 동시에 일어나지 않는 사건입니다. 두 사건이 배반 사건이라면 한 사건이 발생했을 때, 다른 하나의 사건은 절대로 일어날 수 없기 때문에 하나의 사건이 다른 사건의 발생에 대해서 영향을 주는 것이 되어버리므로 독립적인 사건이라고는 말할 수 없습니다. 그와 반대로 독립사건이라면 하나의 사건이 발생하더라도 다른 사건이 발생할 수 있기 때문에 배반 사건이라고 말할 수 없습니다.
Q2. 정규분포에서 확률밀도 함수의 의미를 설명하고 표준정규분포가 필요한 이유를 표준편차와 평균의 뜻을 이용해 설명해보세요.
A2. 확률밀도함수는 평균과 표준편차에 대해 표현된다.
표준정규분포가 정규분포에서 필요한 이유는 타 정규분포와의 비교를 수월하게 할 수 있다. 이는 정규분포의 표준편차나 평균이 다르더라도 정규분포의 특성을 더 잘 이해하고 비교할 수 있다는 장점이 있습니다.
'면접대비 끄적이기' 카테고리의 다른 글
| 자율 예상문제 (0) | 2023.10.11 |
|---|---|
| 3학년 수학 세특 예상문제 (0) | 2023.10.10 |
| 1학년 수학 세특 예상문제 (2) | 2023.10.08 |